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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
en posant
Lorsque le rapport
r, (2n+ 1)
f=
fn= (n+ 1)(2n + 1.) r'(n + 1) 2'":
2
devient infini, R' est négligeable vis-à-vis de R. et l'on a simplement D
est > D, on aura, en désignant par f',2 le coefficient Si (n +1)(2/2 + 1)
f
n (2n-1)
R -1-13! = f
2D
+ 24,
log. hyp. -D-
D 57,
rn
Les deux séries qui ont respectivement pour terme général f et ri sont l'une et l'autre convergentes. En effet, on a (1
"
1)- = 1
n
F(ni) (n)
et, par suite,
vc°
r (2n + i) (2n-1)1*(n+ 1) 2"-I =
Sil' on élève au carré chacun des termes de cette dernière
série, on obtiendra une nouvelle série plus rapidement convergente, dont la sommation donnera un résultat infé-
rieur à 2 ; or le terme général F de cette nouvelle série est lié à f et à r, par les équations suivantes Fn =
4(n+ 1) (2n+ i)
(2n- 1)'
=
4n 2n
,
1
fn.
On a donc, lorsque n est égal ou supérieur à l'unité, > 2/74
Par là on voit que
Fn > 2rn.
f et 1 f, sont deux quantités
finies et nécessairement inférieures à l'unité.
14.5
f 21. Action réciproque de deux portions d'une surface cylindrique séparées par un plan parallèle à l'axe. Supposons maintenant que les deux portions d'une surface cylindrique dont on veut évaluer les attractions réciproques soient situées de part et d'autre d'un plan sécant P parallèle à l'axe du cylindre. Supposons, pour fixer les idées, que cet axe soit horizontal, .et concevons, par un point M de l'une des arêtes, trois axes rectangulaires Mx, My, Mz, le premier, parallèle à l'axe du cylindre, le second, vertical il suffira, pour que le troisième soit normal à la surface, de placer l'origine M dans le plan horizontal qui contient l'axe du cylindre. La position d' un point quelconque n du cylindre peut se définir, soit au moyen des coordonnées (x, y, z), soit par l'abscisse x et l'arc MN = p qui sépare de l'origine M la projection N du point n sur le plan Myz. Le point n .peut être regardé comme le centre d'un élément superficiel dont l'étendue, en coordonnées (p, x), est adcpdx. L'action de deux éléments analogues n et n' situés de part
et d'autre du plan P produira trois composantes parallèles aux trois axes; la composante verticale est seule à considérer ici, à cause de la symétrie, qui annule en fin de compte l'ensemble des composantes horizontales, et cette composante verticale est donnée par l'équation F
a3II(X)
sin
sin y'
dydy,dxdx,
Nous pouvons, puisque la position de l'origine est arbitraire, supposer que le plan Iyz contienne le point n' ; par TOME V, 1874.
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