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EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.'
EMPLOI DES COORDONNÉES CURVILIGNES.
Cela posé, on a successivement
Supposons maintenant que le rayon d' attractlon ), soit supérieur au diamètre D. Les éléments superficiels séparés par une distance inférieure ou tout au plus égale à D donneront lieu tout d'abord à une résultante dont la valeur se déduira de l'équation (io) en substituant D à Quant aux autres éléments, si l'on introduit un système de coordonnées planisphériques (Y, p.) dont l'axe Y coïncide avec
(f'--z2)S1112t.I.
/1
/1 \,
4),=sin' J. cos'Ii. D'
D'
2X'sin'ii.cos'p.
28i1(4 (J.
D'
L)C2.
D'
l'arête du cylindre, les forces attractives qu'ils développent donneront lieu, pour chaque unité linéaire, à une résultante R' qui peut s'exprimer comme il suit, en ayant
D'
1
2 sin' J.
4X2sm-p.cos p.
e'sin2i/cos2p.)1 D'
D'
VI
(1):2sin'ticos'il
égard aux formules du n°
D' 1
2s1112
[11--)
)
D'
143
(S
2),
II(X)
'
o
XdXd.
11: rP(2(,n+ 32) sire""p. cos2"'&1. (1))) 2'1 I
En remplaçant, dans cette équation,
D'
[2),2sin'ti. 2sm-p. L
r2 (n
+
ery.
L1
snr " LA COSn+2.p. '
9,)
F (2n --1) sidnp. (D 1-2() 22n-1
et intégrant, on aura
r (2n + i)
r (2n+
(2n
2n P"
(15
par
(n
D" c),, il (X) 1) 21" in X"--1
(1),
)r(n+1)
),251112.P.± 2
x2 r (on -I- 1)1. (
2n+
p2 (n+ i)
n+
(x) 2n+2 'sid"1-2 p. cos
p.
cos,p.
)
17i
L'intégration par rapport à v. peut maintenant s'effectuer sans difficulté ; on obtient ainsi, après quelques réductions, (Io) R
-
1=(2n-4- I)
i)14(n+ 1)24n D
0
(X) X'""dX.
Si le diamètre D devient infini, le cylindre est remplacé
par un plan. La résultante R se réduit alors à un seul terme, et l'on a (i i)
Ril (X) XVX. 2 o
En définitive, la question est ramenée à une série de quadratures qui dépendent uniquement de la loi d'attraction. Il n'est pas sans intérêt de rechercher à quels résultats on est conduit lorsqu on suppose que cette loi est celle de la raison inverse du carré des distances, qui trouve un si grand nombre d'applications dans la nature, aussi bien pour les attractions réciproques des éléments de volume (ou des masses) que pour les actions attractives ou répulsives qui s'exercent entre des éléments linéaires (lois d'Am-
père). Soit R(),) =
i étant une constante arbitraire; l'équation qui donne la résultante R deviendra, si est < D, R