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DÉNIVELLATIONS DE LA VOIE
tude des oscillations successives, en cas de dénivellations quelconques ou de dénivellations périodiques. Soit MNP la courbe réelle des dénivellations, c'est-àdire la courbe des dénivellations de la voie au passage de la roue chargée, définie comme ci-dessus (Pl. I, fig.i). Je suppose cette courbe absolument quelconque, avec ou sans répétition exacte ; dans le cas de la figure, je suppose que la répétition exacte n'existe pas et même que la courbe monte plus haut la deuxième fois que la première. Remplaçons la courbe réelle par la courbe en escalier suivante : abcdefgliijklmnopqrsl de la fig. 1, Pl. I. Sur la fig. 2, Pl. I, nous allons chercher à tracer l'épure de d} r namique graphique correspondant à cette courbe en escalier, toujours en suivant pas à pas la méthode des paragraphes 14 et 15 de notre mémoire du premier semestre 1905. Nous prenons donc pour abscisses les courses verticales du poids de la fig. 6, en prenant pour origine le point correspondant à la compression nulle du ressort; nous prenons pour ordonnées les efforts comprenant la valeur du poids, la compression du ressort et son frottement proportionnel positif et négatif. Ici encore OA 0 (Pl. I, fig. 2) est la courbe des compressions du ressort en fonction des déplacements verticaux du poids, en supposant le frottement nul ; PP' est une parallèle aux abscisses à une distance égale à la valeur du poids P ; K est l'intersection de la ligne OA 0 et de la ligne PP', et K' sa projection horizontale. Alors la longueur OK' représente « la flexion statique a » du ressort sous la charge statique, comme nous l'avons vu. Maintenant, ici encore OA t est la courbe des compressions du ressort avec frottement positif, et OA2 , cette courbe avec frottement négatif; ces courbes, qui sont encore des lignes droites, sont établies en prenant les
ET OSCILLATIONS DES VÉHICULES
DE
CHEMINS DE FER
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longueurs KK L et KK 2 telles que l'on ait KK, KK 3 KK' ~ KK'
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(f étant le frottement proportionnel donné du ressort considéré). Soit L, l'intersection de la ligne A0 2 avec la ligne PP' et LL' la parallèle à OA ( passant par L ; nous avons démontré que la longueur OL' était égale à 2fa ; nous ayons établi que, quand il y a résonance et que la dénivellation périodique est égale à h, dans le cas du tracé rectangulaire, la condition h =2fa est celle pour laquelle les oscillations se répètent indéfiniment pareilles sans augmenter d'amplitude. Mais ici nous prendrons la dénivellation totale de M en N, ou H, différente de 2fa\ nous la supposons égale àOB, plus grande que 2fa, dans le cas de la fig. 2. Nous appelions ici H la dénivellation totale, tandis que nous l'avions appelée h dans le cas de la dénivellation rectangulaire ; mais H comme h désignent toujours, dans les formules, la dénivellation totale dans le cas considéré. Cela posé menons les lignes BC[ et BG> parallèles à OA, et OA 2 ; il est clair que BCj représente la courbe des compressions du ressort, avec frottement positif, et BCo, la même courbe avec frottement négatif, quand le poids a fait la chute totale H de M en N de la fig, 1. Cela posé, il va nous être facile d'étudier sur la fig. 2 la loi des compressions du ressort avec frottements, en fonction des déplacements verticaux du poids, quand la roue parcourt la courbe en escalier de la fig. 1, et d'en déduire '°us les éléments de la première oscillation et des suivantes.
Je suppose que notre étude de l'oscillation parte du Point a (fig. 1) et qu'à ce moment le poids soit en haut •lune de ses oscillations.