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SUR L'EXTENSION DES PLAQUES ÉLASTIQUES.
On peut calculer de même P aux relations suivantes
(6) p = 2.es(fXd a ----1fYd c \ 4
(7) P = 2tx '
(8) 1=1,
1
j
fXde
(iXda
P. On arrive ainsi Y
4-
(12
clY
P
a
p.,
-1-fYdo-
jjr A log r acc d2)
d2 fiA log r dad(3) + cre,
62
dxdy
fp, log r dad (3)
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tme formule qui est une généralisation de l'équation (4) (12)
IX
dF
f,
dF
a
if .
F
dp.
df3
Cette formule n'est vraie que lorsque le point (x, y) est à, l'extérieur du corps. On pourra, dans certains cas, choisir, la fonction indé-
terminée F, de façon ,que l'intégrale double donne une expression de à. Nous résoudrons le problème pour le cas de plaques rondes ou annulaires.
§ 4.
il° Cas de la dilatation simple. Dans ce cas à= 0, par hypothèse. Les formules ci-dessus donnent la solution générale
(9)fpx,i(fxd--x yd P-
(--fx 2vs 11='y =
P
(fX
2x
R étant le rayon du cylindre. Les coordonnées seront désignées par les lettres suivantes
Pour le point M
+ fY
j_ d'A
(fi
y)] + ,f,[(cc
Coordonnées
rectilignes.
polaires.
ni
(3
a, to 1), ' qe ,cP
La densité à ne devenant pas infinie dans l'intérieur du solide, son expression est développable en a. et P., ou en a et 6), et sera de la forme
A
E(4,0'8"' cos m + B,,e't sin in ii)).
Cette équation ne suffit pas à le déterminer. Désignons par F une fonction de la forme : x+
Coordonnées
x, X1, y,
dx2 ' dy2 = "
F
OQ = R2.
OP
fY
2° Cas où la dilatation est variable. Si les forces latérales sont quelconques, la densité à change d'un point à un autre, en satisfaisant à la condition d2 A
Plaques rondes. Soient (fig. .13) M et P deux points intérieurs, Q le point conjugué de P tel que
x)
Considérons maintenant une *fonction F
F=
y;).log,r, + 2x, y, arc te Y'
y)].
Ses dérivées premières sont
On voit que F
d2F
de
dp2
On établira facilement par la méthode exposée au § 2
dF dF 713- =
.1
[(x2,y)(3:1--,n) + 2x111(Y 1
[(Y
x) (Yi
P) +2; Yi(xic()].