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I78 13.-TERMINATI0N DIRECTE ET PROPRdTÉS
étant plus petit que 4q, ou ni plus petit que 2 g. (*) Ainsi, pour chaque rhomboïde qui se trouque je viens de désigner, et vera dans le casprendre pour noyau, il y aura que l'on voudra toujours, parmi les lois possibles de décroissement sur les bords inférieurs du même rhomboïde , une loi particulière capable de produire de la propriété ciun dodécaèdre jouissantcette loi sera donnée dessus mentionnée ; et sera égal par une fraction, dont le numérateur plus le quadruple au triple du carré de l'arête, du sinus dupait angle de la coupe principale, et dont le dénominateur sera égal à la différence entre le quintuple du carré de la setnidiagonale horizontale et le triple du carré de la semi-diagonale oblique. Telle est la solution du problème proposé plus haut. Mais je vais encore plus loin, et je dis que, pour chaque loi possible de décroissement sur les bords inférieurs du rhomboïde pris en général comme noyau, il y aura aussi toujours Un rhomboïde particulier, du genre de ceux que j'ai désignés par la formule gl. ru' étant plus petit que 4 q, lequel servant de
D'UNE NOU V. VABIT DE CRAUXCARB.
noyau , la loi de décroissement dont il s'agit, produira lin dodécaèdre jouissant de la même
.propriété que je viens de citer. Cette assertion , qui -offre la solution du pro-
blème in verse du précédent, se déduit de la même équation
angle de la coupe principale de chacun dé ces rhomboïdes, ainsi que le tiers de son axe, sont nécessairement des quantités rationnelles. Cela se déduit de ce que g VS p.-g. est l'expression générale du sinus du ,petit angle de la coupe principale d'un rhomboïde quelconque ,( Haüy, , Traité de Miizér. , t. I, 'p. 3o6 ) ; et que cette même expression se in g' , qui renferme celle résoud en cette autre g v';', 1'p du tiers de l'axe ( ibid. , p. 3o3).
n+
V3 p'
g' posée pour
ce dernier problème. On peut la convertir en
cette autre (4 'no'+(n-I-1)')Ét=3(n+1)2p2,
d'où l'on tire immédiatement n 1) V v4( ±( )' pour PApres"sion générale du rapport en ire les semi-diagona les du noyau relatif à chaque loi de décroissein en t ; et il suffit de con sidérericette expression>,
pour sentir qu'elle exprimera toujours un rapport admissible , quelle que soit la valeur possible que l'on Suppose à n, et que ce rapport sera constamment de la forme vne+, ne étant plus petit que 4 q'. D'une autre part, si, pour obtenir les rapports extrêmes des setnidia gona ;es du noyait en question, l'on suppose o , et ensuite ii = i , l'on aura d'abord n pour le premier cas, et K3' : 1. pour le second. Enfin si l'on compare
+ + )' avec 1,"
, l'on remarquera que la première quantité est hécessairement "
(*) Je remarquerai, en passant, que le sinus du petit
, etc. 179
(
plus petite que la seconde
,
à cause de
4(n -I- )2. Les résultats auxquels vient de me conduire directement l'examen de l'expression g,én érale du rapport entre les serni-diagonales du noyau, étant tout-à-fait confornies à ceux que j'ai dé1)2
duits indirectement de l'analyse relative à la M2