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MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.
MOUVEMENT D'UN ELLIPSOÏDE DANS UN LIQUIDE.
comme nous l'avons fait plus haut en nous occupant du
et comme les constantes, calculées au n° 22 , sont nulles, on voit que une sphère se meut dans un liquide comme si sa masse se trouvait augmentée de la moitié de celle du fluide qu'elle déplace, résultat qui doit donner lieu à des observations analogues à celles du n° 15. Soient 0 l'angle formé par r avec l'axe des x pris pour ligne des pôles ; ,zir l'angle compris sous le plan mOx et le plan x0y. ; r, 0, rze étant, si l'on veut, les paramètres d'un système de surfaces sphériques orthogonales. Désignons par un, deux, trois accents, les composantes des vitesses estimées respectivement suivant le rayon, la méridienne et le parallèle. Nous aurons
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mouvement de translation Remarque relative au cas où l' ellipsoïde est de révolution.
Dans ce cas les fonctions S s'expriment en fonction de logarithmes et d'arc tang ; tous les termes de (Io dépendant de la rotation autour de l'axe inégal disparaissent, et cette rotation ne produit aucun mouvement dans le liquide, ce qui devait être, puisque nous avons négligé le. -frottement du liquide contre le corps. Mouvement d'une sphère dans un liquide.
Ce cas particulier du mouvement d'un corps dans un
x=-reose, x=a-sin 6 cos ,re , z=rsinOsinreîp,
liquide, qui a été traité directement et pour la première fois
par Lejeune Dirichlet, se déduit de ce qui précède en y
fil
supposant A = A,
A,
2
1
5
r=
=V' dt
ya
r
a'
V' = R3 --qrs (xa,
a'
et au au lieu des équations (d), du n° 2,
par suite
=
R"
d0 =-V"
dt
r sin 0
a",
dt
11'"
Or la différentielle totale dcp, n'étant autre chose que le travail virtuel de la vitesse V considérée comme une force, il en résulte que
,
p
- et l'on trouve
za).
Les termes dépendant de la rotation disparaissent, comme
on devait s'y attendre, de sorte qu'il nous suffira, dans la recherche du mouvement du liquide, de supposer que la sphère n'est animée que d'un mouvement de translation. On obtient enfin, pour la correction de la masse en toute direction,
sin O)= [ a, cos 0 + (a cos'2 + a, sin'-) si
R2,
étant le rayon de la sphère. Si r est la distance dû centre de gravité du corps à une particule liquide quelconque, on a 112
75
= -1r du
dcf,
d?
1
r sin 0 c/2D-'
et par suite (32)
dr dt
=
R3
3
r' /-sid0
a,,
r2d() dl
=
2
d qz,
213 + 11.3
dt
2r'
r' -I- 11' 2r-
a".
Si le mouvement se réduit à une translation parallèle à l'axe des x, on aa'
a"
cot 0, a"r= o; la dernière des équa-