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NOTICE NÉCROLOGIQUE
soumission les décisions très-autoritaires qui prévalurent. Il évita d'ailleurs avec soin, à partir de sa conversions de s'immiscer aux discussions publiques, regrettant ses hardiesses d'autrefois, dont le souvenir aurait nui à l'influence de sa parole, et devenu méfiant envers sa propre raison. De grands dons naturels furent ainsi stérilisés, non sans dommage, pendant la plus longue période de sa vie. Ils reparaissaient par éclairs dans sa conversation ou sa correspondance, et ceux qui jouirent de son intimité purent souvent 's'apercevoir que la flamme était couverte, mais non pas éteinte. Lorsqu'un suffisant repos fut entré en son esprit (il ne connut jamais le calme complet, incapable qu'il fut de se résigner à la vue du mal et à l'ignorance des objets les plus dignes de nos pensées), il se remit à cultiver les mathé-
matiques, et ces études, dans lesquelles il s'est montré inventeur ingénieux et génértilisateur habile, n'ont depuis lors cessé de, l'occuper. Elles ont porté sur de nombreux et divers problèmes, de préférence sur ceux qui se rattachent anx points fondamentaux de nos connaissances en algèbre et en géométrie, aux conceptions philosophiques qui les dominent, ou que par l'emploi de leurs symboles elles ont suscitées sans les avoir prévues. Les résultats qu'il a obtenus, toujours présentés avec élégance et clarté, ont été publiés en plusieurs recueils, le journal de M. Liouville, le journal de l'École polytechnique, et plus abondamment dans les .Nouvelles Annales. Nous allons non pas les
exposer, ce qui exigerait beaucoup trop de développements, mais en rappeler le plus succinctement possible les principaux. lie cherches sur les courbures des lignes et des sur faces (Journal de M. Liouville, 184t. Nouvelles annales de mathématiques, 2' série, 1870).
Pour étudier la courbure d'une ligne plane, on se borne d'ordinaire à chercher les grandeurs et les positions des cercles osculateurs, c'est.à-dire de ceux qui ont trois points consécutifs
45g peut rendre infiniment voisins communs avec la ligne donnée. On cette notion plus approfondie en substituant au cercle la conique osculatrice, qui passe par cinq points consécutifs. Une infinité de coniques satisfont à la condition de passer par quatre de ces points et d'avoir ainsi avec la ligne un contact plus intime que le cercle. Toutes ont un diamètre commun, qui aboutit au point de contact et dont le conjugué est parallèle à la tangente. L'angle de ce diamètre et de la normale, que Transon nomme déviation, s'exprime par une formule des plus simples en fonction des rayons de courbure de la ligne donnée et de sa développée. Après avoir établi ces principes, l'auteur en fait une belle application à la théorie des surfaces. Il montre que, si l'on conduit divers plans sécants par une même tangente, une seule des sections correspond à une déviation nulle et celle qui lui est perpendiculaire correspond à la déviation maximum, que la tangente trigonométrique de la déviation, pour une section quelconque, s'obtient en multipliant celle de la section correspondant au maximum pa le cosinus de l'angle que font entre eux ces deux plans; enfin, ce qui est une conséquence des propositions précédentes, que les axes de déviation (ou diamètres des coniques plus haut définies) SUR ABEL TRANSON.
relatifs à une même tangente sont contenus dans un plan.
Ii.
montre aussi que, parmi toutes les sections passant par une normale, il y en a une ou bien trois dont la déviation est nulle, que le nombre de-.1 sections normales à parabole osculatrice eEt 6, Li, 2 OU 0, partageant la surface en régions ou aires distinctes, caractérisées par cette propriété que toutes les sections normales faisant partie d'une même aire sont de même genre, soit elliptiques, Soit hyperboliques, tandis que les sections appartenant .à deux aires contiguës sont de genres différents, sauf, bien entendu, les points singuliers pour lesquels certaines de ces aires s'annulent, parce que l'équation qui les détermine a des racines égales.
Une conique peut avoir six points consécutifs communs avec une courbe plane. Transon la nomme alors surosculatrice. Il établit que, dans l'ensemble des sections formées sur une surface par les plans passant par un de ses points et contenant une même droite, oblique ou normale, mais non tangente, il y en a neuf qui admettent des coniques 'suroscuiatrices, étant expliqué qu'une seule de ces neuf sections subsiste nécessairement, les autres pouvant être imaginaires par couples, que, dans l'ensemble des sections planes menées par une même tangente, il y en a trois jouissant de cette propriété, dont l'une au moins réelle.