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300 THÉORIE MATHÉMATIQUE DE LA MACHINE A VAPEUR
2° Celle qui exprime la propagation de la chaleur sur la surface en contact avec la source (d\r
x=x
- (-/-xi= h [0
(2)
(V)s-x]
conditions (I), (2) et (3), afin qu'il ne subsiste dans l'esprit aucun doute sur l'exactitude d'une équation dont les conséquences pratiques sont extrêmement importantes ,dans l'indristrie des machines à vapeur. Faisons d'abord la vérification de la condition (2).
3° Celle qui exprime l'état initial du mur : (V) t-
301
ACTION DES PAROIS
En différentiant (4) par rapport à x et en faisant dans la dérivée ainsi obtenue x =- X, il vient
=F(x),
F (x) étant une, fonction connue. Dans l'hypothèse oit la chaleur ne pénètre qu'a une pro-
4n f F (x) cos nxdx
ldV)
fondeur SA, rien ne sera changé au mouvement de la chaleur dans la paroi OS, si je suppose qua cette paroi fasse partie d'un mur d'épaisseur double et tel que tout
2nX + sin 2nX
X
4 sin nX
.LanX ± sin 2nX
n sin //Xe
n sin nX
f
dee- kn, (t,)
soit symétrique par rapport au plan médian OY.
L'intégrale générale des équations différentielles cidessus est dans ce cas (x) cosnxdx V .
2/1X + sin 2nX
I
4 sin nX
9uX ± sin 2nx
cos nx e- ""
= X, après avoir changé le signe du second membre
et multiplié par
//X
On a donc, T étant égal à, V, pour
ar
e- ki0(t-T) dr, h
cotg nX
T) s'obtient en faisant dans (4) :
(0
- =-- X:
cos nx
les quantités, n étant les racines de l'équation transcendante:
et la somme
Or, la valeur de
hX K
'devant comprendre toutes les racines
positives de Cette équation.
Malgré mon désir d'éviter le plus possible tous II. développements purement mathématiques, je crois nécessaire de montrer comment on peut vérifier, que l'intégrale
trouvée satisfait effectivement aux trois équations de
k (0
4n
T).= ___
v
nxd'x h fo.xF (x)si,cos271x K cos nXe-ku,t
2nx
h 4 sin nX cos nX f dee 2nX + sin 2r/X K
On voit que les seconds membres des expressions (6) ,et (7) sont égaux si on n: sin //X = -
on
s nX.
Cette condition, qui n'est autre que la relation (5), est effectivement satisfaite. - Vérifions maintenant l'équation (1).