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THÉORIES RELATIVES - A LA COORDINATION
,comprend toutes les hypothèses que l'on peut faire sur les polyèdres réalisant la symétrie sphérique. Cela résulte, en effet, des cinq propositions suivantes. Théorème I. - Tout polyèdre qui possède deux axes
d'ordre supérieur à 2 et différents l'un de l'autre
possède plus de , 2. Soient un axe d'ordre p et un axe d'ordre, g faisant entre eux un .angle quelconque. Si. l'on, fait tourner le
polyèdre autour de l'axe g d'un angle égal à
2
,
le
polyèdre est restitué par définition ; l'axe p a. pris alors ,une nouvelle position pi, tout en conservant la symétrie
d'ordre p; en opérant une nouvelle rotation analogue, suivie de plusieurs autres, on obtiendra donc une série d'axes d'ordre p. Il existe donc forcément dans le. polyèdre .plus d'un axe d'ordre p, ce qui. démontre la
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DES SOULÈVEMENTS.
un axe d'ordre p. En continuant ainsi, on finira par obtenir un polygone régulier sphérique, dont les sommets seront les pôles d'axes d'ordre p. On arrivera forcément, en effet, à une figure fermée, car au plus après p rotations successives autour de chaque sommet on devra retomber dans
le voisinage du pôle P et par hypothèse on ne peut qui sans cela ne seraient pas retomber entre P, et des axes contigus ; la dernière rotation ramènera donc deux axes en coïncidence en fermant le polygone. De plus, le polygone sphérique est régulier, car ses angles et ses côtés sont égaux ; Q désignera alors le pôle du ,
petit cercle circonscrit au polygone. Théorème III. - Si q est le nombre des côtés du poly-
gone régulier sphérique, le pôle Q du petit cercle cir-
proposition.
conscrit est le pôle d'un axe de symétrie d'ordre q si q
Théorème II. - On peut, avec les axes d'ordre p et par rotations successives, former un polygone régulier
est pair, ou d'ordre q si g est impair.
sphérique. D'après le théorème I, il existe une série d'axes
amène P, en coïncidence avec P3
d'ordre p dans le polyèdre. Soient P, et P, (fig. 2) les pôles de deux de ces axes contigus, c'est-à-dire p leurs points d'intersection avec la sphère circonscrite au polyèdre. L'angle de P, et de P, est supposé minimum par hypothèse. Si l'on fait tourner l'axe- P, au-
de P, d'un angle 27', le point a,
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Fig. 2.
2
tour de P, de l'angle t, l'axe P, étant d'ordre p, le po-
Soit un point a, (fig. 3) pris dans le voisfnage de P, ; si l'on
au moyen d'une rotation autour P
-
prendra la po sition a,. Une seconde
rotation de P, autour de P, l'amènera en r.3, occupant par rapport à P, P, la même position que a., par rapport à P, , et il en sera
toujours ainsi après un nombre -pair de rotations. Or g étant le nombre des côtés du po-
lygone, l'angle au centre en Q est 27c, et on pourra ra-
lyèdre est restitué. Soit P3 la nouvelle position de P1; P, est donc un axe d'ordre p. A. son tour, si l'on fait tourner
mener r., en a3 par une rotation de deux fois cet angle
P, autour de P, de l'angle 27' il vient en P4, qui est aussi
autour du point Q, soit de 2
P
ou de4 TC . Le polyè-
Ire est donc restitué identiquement par une rotation de