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PLANIMÈTRE OE AMSLER.
PLANIMÈTRE DE AMSLER.
à la circonférence de la roulette, pour le déplacement du style de l'instrument, nous avons : p sin I./ ds
1.
sin p.d s
E
2
L
2
Le
+
Aa
(a)
cl' où Le =-
p
2
sin p. ds
sin p. ds
p
2
+ r'
elle entraîne avec elle le système de la roulette, l'axe de celle-ci parallèle à DA chemine aussi suivant sa directien
propre; le point de contact de la roulette et du papier
2L/
p
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2L/).
Le premier terme du second membre de cette équation est, l'aire du triangle infinitésimal APa ; le facteur extérieur
à la parenthèse du second terme du même membre est
parcourt le même chemin qui est perpendiculaire au plan de la roulette, ce qui ne peut donner lieu à aucune rotation de celle-ci autour de son axe. Quant au déplacement du point A dans le sens perpendiculaire à la droite DA et égal à dp sin A, il entraîne nécessairement cette droite dans un mouvement de rotation autour de l'un de ses points : tout se réduit à déterminer
l'expression du demi-angle au sommet P, APa du même triangle : en appelant a cet angle infiniment petit, et 7 l'aire du triangle, l'équation (a) prend la forme
la situation de ce centre instantané de 'rotation sur la
L 2(L'
A l'origine du déplacement considéré, on a dans le triangle PCA, dont les trois côtés sont r, L et p,
LE =
2
+ 2 U),
on voit que, dans le deuxième terme du second membre, 2L/ est un facteur constant, quelles que soient la position du pôle, la grandeur et la situation de l'angle a et du rayon vecteur p et donné uniquement par les dimensions de l'instrument. Venons à la deuxième composante des déplacements effectifs du style de l'instrument et du point de contact de la
roulette et du papier. Le style partant de l'origine A du mouvement suit le prolongement de PA sur la longueur infiniment petite Aa" = a'a = dp. Ce déplacement peut lui-même être décomposé en deux autres, l'un suivant la direction de la droite DCA, qui est égal à la projection de dp sur cette ligne, c'est-à-dire à dp cos A, en désignant par A l'angle du triangle PAC au sommet désigné par la même lettre ; l'autre perpendiculaire à la direction DCA et égal à dp sin A. Dans le premier déplacement composant di, cos A, la ligne DA a un mouvement de translation suivant sa propre direction ; comme
droite indéfiniment prolongée au delà de son extrémité D, et l'angle infiniment petit dont la droite tourne autour de ce point.
+ pe
cos A
2 Lp
A la fin du déplacement, le côté p du triangle a augmenté de d?, les deux autres côtés sont restés constants ; l'angle A a donc varié d'une quantité infiniment petite dA que l'on obtient par la différentiation de l'équation précédente, où les deux variables sont A et p: la différentiation donne sin AdA
r/Q '
Le
2L
dp
p!'
21,
d'où dA
dp 2L sin A
p' P2
Or il est aisé de voir que
dA est l'expression de l'angle infiniment petit, compris entre la direction initiale de la ligne DCA et la direction finale, alors que le côté p a augmenté de dp
= Aa", et que le sommet A du triangle est
venu en a". Ces deux directions forment en effet avec la